Алгоритъм за откриване на груби грешки в геодезическите измервания

проф. Юрий Исидорович Маркузе, Московски държавен университет по геодезия и картография (МИИГАиК)
инж. Иван Янков, УАСГ, докторант към катедра „Приложна геодезия”

Резюме
Грешките в измерванията, в това число и грубите, неминуемо съпътстват геодезическата практика. Установяването наличието на тези грешки не представлява сериозен проблем при автоматизираната обработка на измерванията, но стандартните алгоритми за изравнение не позволяват директно да се установи кои измервания съдържат груби грешки.
Разглежда се алгоритъм, който позволява при наличие на достатъчно свръхизмервания в дадена геодезическа мрежа да се определят измерванията, съдържащи груби грешки, ако има такива.

1. Въведение
Както е известно от теорията на грешките, геодезическите измервания могат да съдържат груби, систематични и случайни грешки. Грубите грешките най-често се характеризират с големи стойности. От тук следва, че измерванията съдържащи груби грешки съществено се отличават от своето математическо очакване. Поради това в теорията на грешките се счита, че при наличие на достатъчен брой свръхизмервания могат да се определят и отстранят измерванията, съдържащи груби грешки. Разработката на алгоритъм за откриването им е актуална задача.
Въз основа на теоретичните разработки в [1] е разработен предлаганият алгоритъм.

2. Теоретична обосновка на алгоритъма
Както бе споменато, контролът на грубите грешки е възможен само при наличие на свръхизмервания. Като начална стъпка следва да се определят необходимите и свръхизмерванията. Това може да стане по следния начин.
Проверяват се поред всички измервания. За всяко измерване има начална и крайна точка. Проверката започва от дадена точка. Ако проверяваната точка има минимален за нейното определяне брой измервания завършващи в нея, то те са необходими. Всички измервания, завършващи в определена или дадена точка са свръхизмервания. При съставяне на програма, този процес се организира в масив където се отчита броя на обръщенията към всяка точка от мрежата.
След определянето на необходимите измервания и свръхизмерванията, следва да се състави матрицата с коефициенти на уравненията на поправките за параметрично изравнение. Тя ще бъде представена във вид на клетъчна матрица:

 ( 1 )

където е A₁ матрица на коефициентите в уравненията на поправките за необходимите измервания, които условно ще бъдат означени като първа група измервания, A₂ е матрица на коефициентите в уравненията на поправките за свръхизмерванията – втора група измервания. P₁ и P₂ са съответно тежестните матрици на първата и втората група измервания, а L₁ и L₂ – съответните им вектори на свободните членове. За решаването на поставената задача се преминава към корелатно изравнение с параметри.
Матрицата на коефициентите на условните уравнения, съгласно [1], може да се представи във вида:

          ( 2 )

където

                ( 3 )

E – единична матрица от съответен порядък.
Нормалната матрица се получава по формулата:

( 4 )

Векторът на несъвпаденията се определя по следния начин:

( 5 )

Номерата на стълбовете на матрицата B съответстват на номерата на редовете на матрицата A, а номерата на редовете на матрицата B съответстват на номерата на условията. Тъй като в матрицата A₁ са записани само необходимите измервания, а в матрицата A₂ – само свръхизмерванията, то номерата на редовете на матрицата A не съответстват на номерата на измерванията. Поради това е необходимо да бъде съставен вектор D с брой елементи равен на броя на всички измервания n. Всеки елемент на вектор D съдържа номерата на необходимите измервания за матрица A₁ и номерата на свръхизмерванията за матрица A₂. По този начин се осигурява връзка между номерата на редовете на матрицата A и номерата на измерванията.
Да разгледаме ред с номер i на матрицата B. Номерата (j) на ненулевите му елементи, показват номерата на елементите на вектор D, съдържащи номерата на измерванията, които сформират условие i. На това условие съответства несъвпадение w_i.
Проверява се кои несъвпадения изпълняват условието:

          ( 6 )

където w_i^доп е допустимата стойност на несъвпадението, която се изчислява по формулата:

    ( 7 )

където t е доверителен интервал,σ₀ е априорна средна квадратна грешка за единица тежест,N_ii е диагонален елемент на матрицата , съответстващ на условие i.
Ако i-то несъвпадение удовлетворява неравенство ( 6 ), то може да счита, че всички измервания, образуващи условие i не съдържат груби грешки. В противен случай в условие i влизат измервания с груби грешки.
Ако броят на свръхизмерванията е достатъчен, може да се определи номерът на измерването, съдържащо груба грешка.
Да разгледаме вектора на несъвпаденията W. Ако в две (или повече) условни уравнения се получават недопустими и еднакви от статистическа гледна точка несъвпадения и между тях има общо измерване, то най-вероятно грубата грешка съдържа именно общото измерване. Като еднакви от статистическа гледна точка несъвпадения могат да се считат тези, които изпълняват условието:

      ( 8 )

където σ_ΔWij е стандартно отклонение на разликата между несъвпаденията, което се изчислява по формулата:

( 9 )

където

( 10 )

а K_WiWj е коефициент на корелация между несъвпадения w_i и w_j. Той се определя като елемент с индекси i,j на корелационната матрица:

( 11 )

Чрез логическа проверка на условията със статистически еднакви несъвпадения могат да се определят общите измервания между тях. Логическата проверка (логическо умножение) се извършва въз основа на Таблица 1.
В случай, че несъвпаденията са недопустими, но статистически различни, или между тях няма общо измерване, следва да се постъпи по следния начин. Определят се измерванията влизащи и в едното и в другото условие, чрез логическо събиране (Таблица 2). След това от тях се изключват измерванията, образуващи допустими несъвпадения, а всички останали се посочват като възможно съдържащи груби грешки.

Таблица 1

Таблица 2

За да се извърши логическа проверка между редовете на матрица B е необходимо от нея да се получи съответна логическа матрица B. Стойностите на елементите на матрица T могат да бъдат true за ненулевите елементи на B (измерването участва в условието) и false – за нулевите елементи на B (измерването не влиза в условието).
В резултат на логическите операции над редовете на матрицата T, съответстващи на недопустимите несъвпадения, се получава вектор T‾.
Всички елементи на вектор T‾, съответстващи на измервания, които образуват допустими несъвпадения, следва да получат стойност false, тъй като те със сигурност не съдържат груби грешки. Тогава номерата на измерванията с груби грешки ще бъдат равни на стойностите на елементите на D, които съответстват на елементи на T‾ със стойност true.

3. Описание на алгоритъма
Реализацията на алгоритъма се извършва в следната последователност.
 1)Съставяне на матрицата с коефициенти на уравненията на поправките A (уравнение ( 1 )) и вектора D, който дава връзката между номерата на редовете на A и номерата на измерванията.
 2)Съставяне на тежестните матрици P₁ и P₂.
 3)Съставяне на векторите на свободните членове L₁ и L₂.
 4)Изчисление на матрицата G=A₂A₁^-1.
 5)Сформиране на матрицата B=(G-E) и съответната й логическа матрица T.
 6)Изчисление на нормалната матрица N=BP^-1B^T.
 7)Изчисление на вектора на несъвпаденията W=L₂-GL₁ и вектора на допустимите несъвпадения W^доп, съгласно формула ( 6 ).  Присвояване начална стойност на параметъра, брояч на недопустими несъвпадения r_s=0.
 8)Проверка на несъвпаденията. Ако |w_i|>w_i^доп, то r_s=r_s+1 и i се записва в отделен масив s.
 9)Ако сред недопустимите несъвпадения (с номера записани в s, т. 8) се открият статистически еднакви несъвпадения, то техните номера се записват в отделен масив q, а техният брой – в брояча r_q.
 10)Формиране на логически вектор C, с брой елементи равен на броя стълбове на B. Всички елементи на вектор C получават начални стойности true.
 11)Елементите на вектор C, които съответстват на измервания, образуващи допустими несъвпадения получават стойност false.
 12)Изчисление на вектор T‾.
   12.1)Ако r_q>0, то вектор T‾ се получава чрез логическо умножение на редовете на T с номера съгласно масива q. Ако всички елементи на вектор T‾ са със стойност false, то между условията с номера записани в q (т. 9) няма общо измерване. Тогава преход към т. 12.2.
   12.2)Ако r_q=0, то вектор T‾ се получава чрез логическо събиране на редовете на T с номера съгласно масива s.
 13)Съпоставка на вектор C и вектор . Ако елемент на вектор C има стойност false, то съответния му елемент на вектор T‾ получава също стойност false.
 14)Определяне номерата на измерванията, които съдържат груби грешки. Тези номера са записани във вектор D, в елементите, съответстващи на елементите на T‾ със стойности true.

Числен пример
Действието на горе описания алгоритъм ще бъде илюстрирано с малка нивелачна мрежа (Фиг. 1).

                Фиг. 1

Данните в разглежданата мрежа са получени чрез моделиране. Случайните грешки, които са въведени в истинските стойности на превишенията са получени с генератор на случайни величини при стандарт 1 cm.
Стойностите на превишенията и дължините на ходовете са показани в
Таблица 3. За изходен (даден) репер е приет репер 1 с кота H₁=285.647m.

Таблица 3

Нека към превишение номер 4 (между репери 2 и 4) добавим груба грешка (+0.100 м). Тогава се получава превишение h_2,4=-4.394m.

· Определяне на матриците на коефициентите
В съответствие със схемата на мрежата се съставят матриците:

Вектор D съдържа номерата на измерванията за всеки ред на A.

· Определяне на тежестните матрици
Тежестта за всяко превишение се изчислява като p=1/S, където S е дължината на хода в километри. Тежестните матрици за първата и втората група са диагонални и имат следния вид:

· Изчисление на свободните членове
Свободните членове се изчисляват по формулата:

    ( 12 )

където H⁽⁰⁾ са приблизителните стойности на котите на реперите, определящи превишение i, а h_i‘ е измерената стойност на i-то превишение. Приблизителните стойности на котите на реперите се получават като сума от превишенията по хода от изходния до определяемия репер. В дадения случай те са:

и за свободните членове се получава:

 · Изчисление на нормалната матрица (уравнение ( 4 ))

· Изчисление вектора на несъвпаденията W и вектора на допустимите несъвпадения W^доп (уравнения ( 5 ) и ( 7 ))
Векторът на несъвпаденията има вида:

Векторът на допустимите несъвпадения е изчислен при доверителен интервал t=2.5 и априорна средна квадратна грешка за единица тежест σ₀=0.004m.

· При проверка на несъвпаденията, получени в т. 7, се установява, че броят на недопустимите несъвпадения r_s=3 и те са в условия с номера 2, 3, 4.
· За определяне на номерата на статистически еднаквите недопустими несъвпадения се изчисляват величините съгласно уравнение ( 9 ) и се извършва проверка на условие ( 8 ). Стойностите на σ_Δw са показани в
· Таблица 4, а сравнението на разликите между несъвпаденията – в Таблица 5.

Корелационната матрица на несъвпаденията е:

Таблица 4

Таблица5

Въз основа на анализ на резултатите в Таблица 5 като статистически еднакви се определят всички недопустими несъвпадения.
· В съответствие с т. 10 се формира логически вектор с брой елементи равен на броя на редовете на B, с начални логически стойности на всички елементи 1. Така вектор има вида:

· В съответствие с т. 11 всички елементи на вектор , съответстващи на измервания, които образуват допустими несъвпадения (с номера 1 и 5), получават логическа стойност 0. Тогава вектор приема вида:

· Съгласно т. 12 се получава вектор T‾ като резултат от логическо умножение на редове 2, 3, 4 на матрица T:

· В съответствие с т. 13 се извършва съпоставка между вектори C и T‾. Ако елемент на вектор C има логическа стойност 0, то и съответствения му елемент на вектор T‾, получава логическа стойност 0. По този начин се получава:

· След изпълнение на алгоритъма, елемент с номер 3 на вектор T‾ остава равен на единица. Съгласно т. 14, номерът на измерването съдържащо груба грешка е записан в елемент номер 3 на вектор D. Номерът на това измерване е 4, което съответства на модела на задачата.

Нека сега, освен в превишение 4, добавим груба грешка (+0.120 m) в превишение номер 7 (между репери 6 и 3). Тогава то ще има стойност h_6,3=9.184m.
В този случай приблизителните стойности на котите ще бъдат:

а свободните членове:

В този случай недопустими несъвпадения имат условия с номера 2, 3, 4, 5. Статистическата оценка на разликите между несъвпаденията изглежда по следния начин:

Таблица 6

Таблица 7

Еднакви от статистическа гледна точка несъвпадения съгласно Таблица 9, се получават 2, 3, 5. Резултатът от логическото умножение на редове с номера 2, 3, 5 на матрица T е:

Номерата на измерванията, съдържащи груби грешки съгласно вектор D са 4, 6, 7, 5, 8, 9, 10.
Съгласно модела на задачата, измервания с груби грешки са 4 и 7. Те влизат в списъка получен при изпълнение на алгоритъма, но в този случай не е получено еднозначно решение, тъй като мрежата не е голяма, а в нея има вече две груби грешки.

4. Изводи
Когато в мрежата са направени достатъчно (в съответствие с нейния размер и конфигурация) свръхизмервания, предложеният алгоритъм може еднозначно да определи измерването, в което има груба грешка или да определи няколко, но малко на брой, измервания, някои от които съдържат груби грешки.
Ако в мрежата няма достатъчно свръхизмервания резултатът от работата на алгоритъма ще бъде неудовлетворителен, тъй като броят на предполагаемите грешни измервания ще бъде голям. Това се получава, тъй като при малък брой свръхизмервания е малък броят на условните уравнения. Откриването на грубата грешка в този случай се затруднява от това, че се използва сравнение на несъвпаденията, а техният брой е недостатъчен.
Ако например мрежата се състои само от един затворен полигонов ход и неговото несъвпадение е недопустимо, очевидно, че има наличие на груба грешка, в случай че няма натрупване на систематични грешки. В такъв случай наличието на грешката се определя лесно, но не е възможно да се определи измерването, което я съдържа.
Когато мрежата е голяма и няколко измервания съдържат груби грешки (такава ситуация е напълно възможна), предлаганият алгоритъм ще установи тяхното наличие при достатъчен брой свръхизмервания ще определи грешните измервания. Ако в едно условие влизат няколко грешни измервания, недопустимите несъвпадения силно ще се различават. Това намалява ефекта от т.т. 13 и 14. В резултат ще бъдат посочени повече измервания като „съмнителни”, но в тях задължително влизат грешните.
Въпреки посочените слабости алгоритъма може да намери приложение при обработка на измерванията, тъй като съгласно теорията на грешките, грубите грешки са малко вероятни и поради това техният брой би следвало да не е голям.
От друга страна във всяка геодезическа мрежа се препоръчва да бъдат направени повече свръхизмервания не само заради контрола на грешките, но и за увеличение точността на определяемите точки и по-добра оценка на точността.
Следователно може да счита, че условията за наличие на достатъчно свръхизмервания и не голям брой груби грешки, най-често са изпълнени, а в такъв случай предлаганият алгоритъм ще работи устойчиво и удовлетворително.

Литература
1. Маркузе Ю. И., Теория математической обработки геодезических измерений, Москва, МИИГАиК, 2005