Геодезия

Оценка на точността на висящ полигонов ход чрез стохастично моделиране (Метод „Монте Карло “)


Методи Маждраков, Добриян Бенов, Ивайло Иванов

 

Резюме

 

„Свободен“ или „висящ“ се нарича полигонов ход, който започва от точка и страна с известни координати, респективно – посочен ъгъл, и се развива с измерване на дължини и ъгли, без да се включи в определена крайна точка.

Висящият полигонов ход не отговаря на фундаментални принципи за извършване на маркшайдерските работи. При него не се спазва схемата за развитие на полигоновите мрежи – от общото към частното, а точно обратното – той се развива от частното към общото. Освен това се извършват само минимално необходимият брой измервания, т.е. липсват „излишни“ измервания, което не позволява да се извърши обективен контрол и оценка на достигнатата точност.

Прокарването на подземни минни изработки се направлява с такъв вид полигонови ходове. Грешката в крайната точка зависи от дължината и формата на полигоновия ход и от точността на измерване на ъгли и дължини. За прогнозиране на тази грешка предлагаме да се използва стохастично моделиране, известно като метод „Монте Карло“. Поместен е пример, изчислен с разработен от авторите софтуер.

Предимствата на предложения метод се свеждат до следното.

1.         Компютърната реализация на метода „Монте Карло“ позволява един относително сложен вероятностен модел да се приложи за решаване на конкретна инженерна задача.

2.         Чрез използване на случайни числа в интервала [0;1) математическият модел позволява да се обхванат практически всички възможни комбинации от грешки, вкл. и т.нар. „малко вероятни събития“.

Като резултат се получава очакваното разпределение на отклоненията, което дава възможност за по-надеждна оценка на приетата технология на измерване, в сравнение с единичните стойности, които се намират с „класическите“ решения.

            Ключови думи: висящ полигонов ход, оценка на точността, метод „Монте Карло“

 

1. Определение

            „Свободен“, или „висящ“, се нарича полигонов ход, който започва от точка и страна с известни координати, респективно – посочен ъгъл, и се развива с измерване на дължини и ъгли, без да се включи в определена крайна точка.

            Висящият полигонов ход не отговаря на фундаментални принципи за извършване на геодезически работи. При него не се спазва схемата за развитие на геодезическите мрежи – от общото към частното, а точно обратното – той се развива от частното към общото. Освен това се извършват само минимално необходимият брой измервания, т.е. липсват „излишни“ измервания, което не позволява да се извърши обективен контрол и оценка на достигнатата точност. Поради тези причини, геодезическите наредби не допускат този вид полигонови ходове за развиване на работна основа.

            В определени случаи обаче прилагането на висящ полигонов ход е единственото възможно решение. Такива са маркшайдерските работи при подземното прокарване на минни изработки и транспортни, хидротехнически и др. тунели. В тези случаи, висящият полигонов ход следва прокопаването на посочените съоръжения и едновременно служи както за трасиране на тяхната ос, така и за заснемане на фактическото положение на забоя.

            Особено отговорна е тази задача при прокопаване на подземни галерии и тунели с насрещни забои или, когато те трябва да преминават през точки с известни координати.

            Затова, в Техническата маркшайдерска инструкция [1], се препоръчва при изработки с голяма дължина и/или сложна форма, да се направи предварителна оценка на точността, която се очаква да се достигне с използваните инструменти и методи на измерване.

            В маркшайдерската литература е популярно определянето на грешката в последната точка от висящ полигонов ход при зададени геометрична форма на полигона и средните квадратни грешки на дължините и ъглите, да се основава на закона за предаване на грешките [напр. 2,3].

            При практическото прилагане на този метод, трябва да се отчитат две обстоятелства.

1.         Обемът на изчисленията е значителен. Това обстоятелство е било важно в периода на създаване на метода [4]. По тази причина, са разработени приблизителни формули на основата на определени допускания – изпънат полигон, еднакви дължини на страните и т.н. Разбира се, понастоящем не е трудно да се направи съответната изчислителна компютърна програма.

2.         Според нас, по-важно е друго обстоятелство. В литературата не се отбелязва, че въпреки използването на вероятностен формулен апарат, методът фактически е детерминиран. Съгласно този метод, при еднакви входни данни, винаги би се прогнозирало едно и също отклонение на крайната точка. Това означава, че при многократно измерване на един полигонов ход с еднакви инструменти и по еднаква методика, винаги трябва да се очаква получаване на едни и същи координати на крайната точка, което очевидно не е вярно.

 

2. Алгоритъм основан на метода „Монте Карло“

            Поради изложените причини, предлагаме друг алгоритъм за решаване на задачата – стохастично моделиране, известно също като метод „Монте Карло“.

            Методът „Монте Карло“ се използва за симулиране на физически процеси, математически модели и др.п. Методът е подходящ за компютърно прилагане и може да бъде използван, когато не е възможно или не е целесъобразно да се прилагат детерминирани алгоритми.

            Идеята на метода „Монте Карло“ е онагледена на фиг. 1.

 

statia_polygon-1.jpg

 

Фиг. 1.

 

С използване на генератор на случайни числа се получават редици от стойности на независимите променливи елементи – X1, X2, … Xm, и се осъществяват достатъчно голям брой „реализации“ на моделираната функция (полигоновия ход). Така, с достатъчно висока вероятност, се намира очакваното разпределение на резултатите (отклоненията в „опасната“ посока).

            За да бъде ефективен методът „Монте Карло“, е необходимо да се спазват определени условия.

1.         Моделираните процеси или явления трябва да бъдат дефинирани и описани математически достатъчно точно.

2.         Да се определи наборът от независими (относително независими) входни величини. За всяка величина трябва да бъдат известни границите на изменение и честотата на появяване на отделни стойности, най-добре – теоретичното или емпиричното разпределение.

3.         Голямо значение за реализацията на метода има използваният генератор на случайни числа. Широко се използват компютърни програми за намиране на стойности в интервала  , които отговарят на т.нар. статистически тестове за случайност [5, 6, 7]. Този алгоритъм не е универсален, но реализираните чрез него случайни числа позволяват разглежданата задача да се реши достатъчно надеждно.

4.         Няма еднозначен отговор за броя на симулациите. За съвременните бързодействащи изчислителни средства този проблем не е съществен, но все пак в програмата е необходимо да се предвиди процедура за периодично продължаване, респективно – преустановяване на симулациите.

 

3. Програмна реализация

            С прилагане на описания подход сме разработили компютърна програма за оценка на точността на висящ полигонов ход.

            Входът на програмата включва геометрична схема на полигоновия ход (фиг. 2) и предполагаеми грешки на началните параметри – координатите на точка и посочен ъгъл, и на измерените величини – полигонови ъгли и дължини.

 

statia_polygon-2.jpg

 

Фиг. 2. Висящ полигонов ход, който трябва да достигне до точка с определени координати; дължината на хода е 1868 m

 

Предвидени са два варианта за прехода „случайно число-грешка на измерване“:

–           нормален закон за разпределение, който е в основата на геодезическата (маркшайдерската) оценка на точността; условно този вариант е означен като „оптимистичен“;

–           систематичен характер – само „положителни“ или само „отрицателни“ стойности на грешките, с което се получава т.нар. „гранична грешка“; условно този вариант е означен като „песимистичен“.

            Разбира се, възможни са и други зависимости.

Предвидено е да се извършват се серии от по 100 000 симулации. След всяка серия се визуализират получените разпределения на моделираните величини (фиг. 3 и фиг. 4). Целесъобразно е симулациите да бъдат преустановени по преценка на ползвателя, когато получените разлики практически са пренебрежимо малки.

 

statia_polygon-3.jpg

 

Фиг. 3. Очаквано разпределение на средните квадратни грешки на координатите X и Y на крайната точка при оптимистичен вариант.

statia_polygon-4.jpg

Фиг. 4. Очаквано разпределение на грешките на координатите X и Y на крайната точка при песимистичен вариант.

 

4. Изводи

Предимствата на предложения метод се свеждат до следното.

3.         Компютърната реализация на метода „Монте Карло“ позволява един относително сложен вероятностен модел да се приложи за решаване на конкретна инженерна задача.

4.         Чрез използване на случайни числа в интервала [0;1) математическият модел позволява да се обхванат практически всички възможни комбинации от грешки, вкл. и т.нар. „малко вероятни събития“.

5.         Като резултат се получава очакваното разпределение на отклоненията, което дава възможност за по-надеждна оценка на приетата технология на измерване, в сравнение с единичните стойности, които се намират с „класическите“ решения.

 

Литература

1. Техническа маркшайдерска инструкция. София, ДИ Техника, 1969.

2. Велев, К. Общо маркшайдерство. София, ДИ Техника, 1965.

3. Справочник по маркшайдерство, ДИ Техника, 1979.

4. Бахурин, И. М. Вопросы маркшейдерского искусства, Москва-Ленинград, 1936.

5. Иванова, В. И. Случайные числа и их применение. Москва, Финансы и статистика, 1984.

6. Форсайт, Д. и др. Компютърни методи за математически пресмятания. София, Наука и Изкуство, 1986.

7. Маждраков, М. Автоматизация на маркшайдерските изчисления и графични построения. София, ВМГИ, 1988, 170 стр.

Автор

Super User

И все пак тя се върти…
Rotating_earth
Rotating_earth
От категорията
Гео-портал на минестерството на отбраната

Contact Us