Полиномни интерполации във фотограметрията

Ст.н.с. д-р инж. Иван Кацарски

Въведение
Пространствените фотограметрични модели са предмет на деформации, които причиняват грешки в пространствените координати на точките, принадлежащи на моделите. В стереофотограметрията, в частност аеротриангулацията, широко приложение намират числените методи за компенсиране на грешките. Изследванията на тези грешки често, макар не единствено, водят до полиномни апроксимации от различна степен. Поради това компенсирането (отстраняването) на деформациите често (но не единствено) се постига, като след абсолютното ориентиране на моделите или заедно с него геодезическите координати на точките се коригират по начин, съответстващ на деформациите, т. е. чрез многостепенни полиноми интерполации.

Прилагането на полиноми намира място и в модулите за аеротриангулация на някои съвременни дигитални фотограметрични системи, например PHOTOMOD на Racurs Co. При версия 4.4 на тази система изравнението на аеротриангулацията може де се извършва по независими модели или чрез снопове от проектиращи лъчи (снопово изравнение). И в двата случай обаче има опция за прилагане на полиноми от различна степен.

Същност
Полиномите, които са разисквани в тази статия, се отнасят за триизмерното (Е3) и двуизмерното (Е2) Евклидово пространство (Еνκλειδης, ІІІ в. пр. Хр.). Полиномните интерполации по своята математическа същност са полиномни най-често нелинейни трансформации, които имат само алгебричен, но е и геометричен смисъл.

Коригираните координати X, Y, Z се получават, като към некоригираните координати x, y, z се прибавят корекциите Δx, Δy, Δz, т. е.:

         || X ||    || x ||    || Δx ||
(1)     || Y || = || y || + || Δy || .
         || Z ||    || z ||    || Δz ||

Корекциите, които представляват многостепенни полиноми на некоригираните координати, могат да бъдат изразени най-общо по следния начин:

         Δx = Pol_X (x, y, z, k_i)
(2)     Δy = Pol_Y (x, y, z, k_i) ,
         Δz = Pol_Z (x, y, z, k_i),

където: k_i (i = 1, 2, … n) са полиномните коефициенти.

За еднозначно решаване на задачата (намиране на числените стойности на полиномните коефициенти) е необходимо да бъдат известни (дадени) толкова геодезически координати X, Y, Z, които са координати на геодезическите опорни точки (служещи за основа на аеротриангулацията), колкото е броят на полиномните коефициенти k_i в избраните за целта полиноми. Практически броят на известните величини винаги е по-голям от необходимия брой и решаването на задачата става по метода на най-малките квадрати.

Многообразие на полиномите

В специалната литература се предлага голямо разнообразие на полиноми. То е резултат от теоретични и практически изследвания, извършвани на съответен етап от развитието на фотограметрията. Полиномите се различават по степен, брой и вид на полиномните коефициенти. Различават се също така и начинът на прилагането им. Различните полиноми са предназначени за изравнение на отделни стереомодели, триангулирани ивици с различна дължина или блокове с различни размери, които са осигурени с различни по брой и разположение геодезически (опорни) точки. С тях се постига различна точност в съответствие със специфичното предназначение на задачата.

По отношение на степента полиноми могат да бъдат:
·     Второстепенни.
·     Третостепенни.
·     Комбинирани от втора, трета и по-висока степен.

По отношение на начина на прилагане се срещат следните възможности:
·     Независимо по трите координати оси X, Y, Z.
·     Съвместно за планиметрия (X, Y) и отделно за височина (Z).
·     Съвместно по трите координатни оси X, Y, Z.
·     Само за планиметрия (X, Y).
·     Само за височина (Z).
·     С различна степен за трите координатни оси X, Y,.

Един опит за систематизиране на полиномите води до следното:
·     Второстепенни полиноми:

• Независимо за X, Y и Z.
• Съвместно и само за X и Y.
• Само за Z .
• Съвместно за X, Y и Z.

·     Третостепенни полиноми:

• Независимо за X, Y и Z.
• Независимо и само за X и Y.
• Съвместно за X и Y и отделно Z.
• Само за Z.

·     Комбинация от второстепенни и третостепенни полиноми:

• Второстепенни полиноми за X и Y и третостепенни за Z.
• Второстепенни полиноми за X и Z и третостепенни за Y.
• Второстепенни полиноми за Y и Z и третостепенни за X.
• Второстепенни полиноми за Y и третостепенни за X и Z.
• Второстепенни полиноми за Z и третостепенни за X и Y.

·     Полиноми от по-висока степен.

В някои случаи се предлага използването на второстепенни или третостепенни полиноми да става в зависимост от условията, при които следва да се прилагат. Дори програмно се извършва избор на степента на полинома.

Различие в полиномите

Полиномите най-често се различават по допълнителните членове, които коригират усукването на моделите, както и по тяхната степен. Категорични препоръки обаче за степента на полиномите не могат да се правят.

Заслужава да се отбележи следното:
·     Полиномите от първа степен дават незадоволителни резултати, което се дължи на ограничения брой степени на свобода.
·     С полиномите от втора и трета степен се получава почти еднакъв ефект.
·     Необоснованото увеличаване на степента на полиномите може да влоши резултата от изравнението, понеже по-високата степен деформира ивиците или блоковете (когато се изравнява аеротриангулация) там, където няма геодезически опорни точки.
·     Обикновено не се препоръчват полиноми със степен, по-висока от трета, дори е достатъчно да се прилагат второстепенни полиноми.
·     Използването на по-голям брой геодезически опорни точки при изравнение с полиноми от втора степен само незначително повишава точността.

В някои по-обширни обзорни, основни или справочни трудове по фотограметрия се прави анализ на разнообразието на полиномите и възможностите за тяхното прилагане, например, за изравнение на аеротриангулация, като се стига до следното резюмирано изложение:
·     Второстепенните полиноми се прилагат за малки корекции, когато дадените геодезически точки са разпределени в ивиците най-малко в 3 групи. Възможни са следните комбинации:

–     Съвместно изравнение за X, Y и Z.
–     Отделно изравнение за планиметрия (X, Y) и за височина (Z), без или с допълнителни членове за Z.
–     Независимо изравнение за X, Y и Z, без или с допълнителни членове за Z.
Членовете със Z би трябвало да се използват само ако са дадени достатъчен брой опорни точки със значителна разлика в надморските височини.
·     Третостепенните полиноми се прилагат за малки корекции, когато дадените геодезически точки са разпределени в ивиците най-малко в 4 групи.
·     Възможни са следните комбинации:
–     Съвместно изравнение за X, Y и Z.
–     Отделно изравнение за планиметрия (X, Y) и за височина (Z).
–     Независимо изравнение за X, Y и Z.
·     Конформните третостепенни полиноми се прилагат за планиметрични корекции
(Δx, Δy) от всякаква големина.

Определяне на полиномните коефициенти по МНМК

За поясняване определянето на полиномните коефициенти по метода на най-малките квадрати ще бъдат използвани следните полиноми от втора степен, които са независими по всяка ос:

         Δx = a_O+a₁+a₂.y+a₃.x.y+a₄.x²,
(3)     Δy = b_O+b₁.x+b₂.y+b₃.x.y+b₄.x²,
         Δz = c_Oc₁.x+c₂.y+c₃.x.y+c₄.x²,

където: a_i , b_i , c_i (i = 0, 1, 2, 3, 4) са полиномните коефициенти.

Освен от вида на полиномите, приетата моделна деформационна повърхнина се характеризира още с полиномните коефициенти, които са функции на параметрите на аерозаснемането и грешките в относителното ориентиране на стереодвойките аероснимки.

Както се вижда от формули (3), трите полинома са от един и същ вид, поради което е удобно да бъдат записани матрично:

(4)     Δr’ = P_O+P.r,

където:
                || Δx’ ||        || x ||           || a_O ||        || a₁ a₂ a₃ a₄ ||
(5)     Δr’ = || Δy’ || , r = || y || , P_O = || bO || , P = || b₁ b₂ b₃ b₄ || .
                ||Δ z’ ||       ||x.y ||          || c_O ||         || c₁ c₂ c₃ c₄ ||
                                   ||x² ||

Във формули (3), или все също в матриците РО и Р, се съдържат общо 15 неизвестни ai, bi , ci, за еднозначното определяне на които са необходими също общо 15 дадени (известни) величини. Както се вижда от формули (3), във всеки от трите полинома не фигурират неизвестни от останалите два полинома, поради което изчислението за всяка координатна ос става независимо от това за другите две оси. В уравнението за всяка ос се съдържат по 5 неизвестни a_i, b_i, c_i (i = 0, 1, 2, 3, 4), поради което за еднозначното им определяне са необходими по 5 дадени величини. Полиномите (3) позволяват да бъдат използвани точки, които са дадени отделно с техните координати X, Y и с височината Z.

Ако n_P > 5 на брой точки са дадени с равнинните си координати и n_Z > 5 на брой точки са дадени с височините си, за всяка координатна ос ще има съответно n_P–5, n_P–5 и n –5 свръхнаблюдения и определянето на неизвестните следва да стане по метода на най-малките квадрати. В такъв случай матриците-вектори r’ и r трябва да удовлетворяват условието (4) и уравненията на наблюденията са:

(6)     Δr + V_Δ = r’,

където:
               || Δx ||           || V_ΔX ||
(7)     Δr = || Δy || и V_Δ = || V_ΔY ||
               || Δz ||           || V_ΔZ ||

означават матриците-вектори на подлежащите на изравнение корекции (координатни разлики) и поправките към тях.

Очевидно:

(8)     V_Δ = Δr’–Δr = Δr’–(R–r) = Δr’+r–R = R’–r = V,

където R и R’ са матриците-вектори на коригираните заради моделните деформации геодезически координати съответно преди и след изравнението по МНМК, а V е матрицата-вектор на поправките.

Тук за “наблюдавани” и следователно подлежащи на изравнение са приети корекциите към геодезическите координати, които се считат за равноточни и не са въведени тежести.

От връзките (4) и (6) се получават уравненията на поправките:

(9)     V = T_O + T.r – Δr ,

които, написани координатно, са 2n_P+n_Z на брой.

По гореспоменатите причини изравнението се извършва самостоятелно за всяка от 3-те координатни оси и могат да се съставят следните 3 системи нормални уравнения:

           || N_P 0  0 ||    || A ||    || L_X ||
(10)     || 0  N_P  0 || .  || B || = || L_Y || ,
           || 0  0  N_Z ||   || C ||    || L_Z ||

където:

                  || nP        [x]     [y]      [x.y]       [x2]  ||
                  || [x]      [x2]    [x.y]    [x2.y]      [x3]  ||
(11)     NP = || [y]      [x.y]   [y2]     [x.y2]    [x2.y] ||
                  || [x.y]  [x2.y]  [x.y2]   [x2.y2]   [x3.y] ||
                  || [x2]    [x3]    [x2.y]    [x3.y]     [x4]  ||

е матрицата на първите две нормални системи. Матрицата N_Z на третата система се различава от матрицата (11) по съдържанието на елементите, въпреки че освен n_Z, останалите елементи се означават по същия начин.

Освен това

                || a_O ||        || bO ||        || cO ||
                || a₁ ||         || b1 ||        || c1 ||
(12)     A = || a₂ || , B = || b2 || , C = || c2 ||
                || a3 ||         || b3 ||        || b3 ||
                || a4 ||         || b4 ||        || b4 ||

са матриците-вектори на търсените полиномни коефициенти, a

                 || [Δx] ||            || [Δy] ||             || [Δz] ||
                 || [x.Δx] ||          || [x.Δy] ||          || [x.Δz] ||
(13)     L_X =|| [y.Δx] || , L_Y = || [y.Δy] || , L_Z =  || [y.Δz] || .
                 || [x.y.Δx] ||       || [x.y.Δy] ||       || [x.y.Δz] ||
                 || [x2.Δx] ||        || [x2.Δy] ||         || [x2.Δz] ||

са съответните матрици-вектори на свободните членове на трите нормални системи.

Матриците-вектори на неизвестните се получават от решаването на нормалните уравнения:

           || A ||     || N_P^-1 0 0 ||   || L_X ||
(14)     || B || =   || 0 N_P^-1 0 || . || L_Y || .
           || C ||     || 0 0 N_Z^-1 ||   || L_Z ||

За намаляване на изчислителната работа решаването на нормалните уравнения (10) може да се извърши, като неизвестните а_O, b_O и c_O бъдат предварително елиминирани по Гаус (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855). Този начин е приложим само тогава, когато в уравненията на поправките всички коефициенти пред неизвестното, което ще бъде елиминирано, са равни на единица и наблюденията са с еднаква точност. Изравнението на полиномните интерполации представлява именно такъв случай. В резултат на елиминирането се получават един път редуцираните нормални уравнения, на които съответстват редуцираните уравнения на поправките.

Оценяване на точността

Оценката на точността се извършва, като след намиране на поправките от условието (7) се изчислят следните квадратни грешки за единица тежест по отделно за всяка координатна ос:

          mX = {[V_X²]:(n_P–5)}^1/2,
(15)     mY = {[V_Y²]:n_P–5)}^1/2,
          mZ = {[V_Z²]:(n_Z–5)}^1/2.

Понеже наблюденията са равноточни, средните квадратни грешки (15) са същевременно и грешки на наблюдаваните величини.

Средните квадратни грешки на коригираните координати на всяка точка от модела се получават като средни квадратни грешки на функция от неизвестни. За целта, след като бъдат пресметнати частните производни на Δx, Δy и Δz спрямо всички полиномни коефициенти, се получава:

(16)  Q_ΔXΔX = Q_aOaO+2xQ_aOa1+2yQ_aOa2+2xy(Q_aOa3+Q_a1a2)+

+4xQ_aOa4+x2Q_a1а2+2x²yQ_a1a3+4x²(Q_a1a4+Q_a4a4)+y²Q_a2a2
+2xy²Q_a2a3+4xyQ_a2a4 +x²y²Q_a3a3+4x²yQ_a3a4

и аналогични изрази за Q_ΔYΔY и Q_ΔZΔZ .

Освен това важи:

(17)     Q_ΔXΔX = Q_ΔYΔY .

Средните квадратни грешки на координатите на всяка точка от модела, спрямо която е приложена корекция като функция от неизвестните полиномни коефициенти, са следните:

(18)     M_X = m_X(Q_ΔXΔX)^1/2, M = m_Y(Q_ΔYΔY)^1/2, M_Z = m_Z(Q_ΔYΔY)^1/2.

Литература

1.      Вайнаускас, Ф. Ф. Некоторые вопросы теории ошибок пространственной фототриангуляции. Вильнюс, Труды по геодезии, Вильнюсский филиал Каунасского политехнического института, 1964.
2.      Кацарски, И. Една полуаналитична система за фототриангулация с независим модели. Дисертационен труд. София, Висш институт по архитектура и строителство, Геодезически факултет, 1978.
3.      Кацарски, И. Основи на фотограметрията (Записки). София, ГИС София ЕООД, 2002.
4.      Кацарски, И. Приложни и теоретични въпроси на фотограметрията (Сборник). София, ГИС София ЕООД, 2005.
5.      Молнар, Л. Уравнение фотограмметрических сетей. Симпозиум по фотограмметрии, Москва,1968.
6.      Шульман, В. А. Уравнивание высот точек фототриангуляционных сетей, построенных на универсальных приборах, с применением ЭЦВМ. Москва, Геодезия и картография, 6, 1970.
7.      Ackermann, F. On strip adjustment with polynomials of higher degree. Amsterdam, Photogrammetriа, 4, 1961-1963.
8.      Albertz / Kreiling. Photogrammetrisches Taschenbuch, 3. Auflage. Karlsruhe, Herbert Wichmann Verlag, 1980.
9.      Jordan / Eggert / Knesl. Handbuch der Vermessungskunde, B. III a/3, Photogrammetrie, 10 Ausgabe. Stuttgart, 1972.
10.      Manual of Photogrammetry, 4th edition. Falls Church, Virginia, American Society of Photogrammetry, 1980.
11.      Manual of photogrammetry, 5th edition. Bethesda, Maryland, American Society for Photogrammetry and Remote Sensing, 2004.