Теоретични и практически аспекти на определянето на влиянието на вертикалната рефракция в прецизната нивелация

Проф. д-р инж. Васил Вълчинов – УАСГ, E-mail: v_valchinov@abv.bg

Резюме:

В статията се разглежда влиянието на вертикалната рефракция при прецизната нивелация, теоретични и практични аспекти за определяне на коефициента на вертикалната рефракция от измервания на температурата на въздуха на различни височини над терена в прецизни височинни мрежи. Включени са възможности за повишаване на точността чрез правилно определяне на влиянието на вертикалната рефракция и използване на еквивалентната височина на визирния лъч над терена.

Въведение:

Прецизната геометрична нивелация е в основата на височинната референтна система на всяка държава. У нас чрез високоточна нивелация се създава и поддържа Държавната нивелачна мрежа I и II клас. Тя осигурява височинните измервания на територията на Р България при създаване на следващите класове нивелация, в геодинамиката, при височинните инженерно-геодезически работи, свързани с инфраструктурното проектиране, строителството, определяне на деформации на инженерни съоръжения и др.

Прецизната геометрична нивелация е достатъчно добре теоретически и практически изучена и е известно, че точността й зависи от много фактори. Един от тях е вертикалната рефракция. Трудностите идват от правилното отчитане на състоянието на атмосферата, релефа на терена по нивелачната линия, локалните атмосферни промени по време на измерванията на превишенията.

Въпреки това в последните години е намалял научния интерес към изучаването на влиянието на вертикалната рефракция. Това се обяснява и с новите технологии при производството на прецизните дигитални нивелири и вложените в тях модели за отчитане на влиянието на външните условия върху измерванията. При коректно изпълнение на прецизната нивелация с подходящи по точност електронни нивелири се постига достатъчно висока точност. При условие, че измерванията на превишенията се извършват едновременно с измервания на температурата на въздуха на различни височини над терена и обработката на измерванията се прави чрез подходящи алгоритми се постига точност, която е достатъчна за нивелация I и II клас. По тази причина в нормативните документи за извършване на прецизната нивелация у нас и в чужбина се предвижда този подход – едновременно измервания на превишенията между точките и измерване на температурата на въздуха на станцията на различни височини над терена.

Научните изследвания показват, че влиянието на вертикалната рефракция може да достигне до  0.5 – 1.0 mm за станция, а точността на нейното определяне е около 0.2 -0,3 mm, т.е величината на вертикалната рефракция е почти съизмерима с точността на нейното определяне. Независимо от малката стойност, особеното е, че корекцията за вертикалната рефракция се натрупва и може да достигне до няколко cm в дълги нивелачни линии. Това означава, че влиянието на вертикалната рефракция при прецизната геометрична нивелация трябва винаги да се взема предвид. Разбира се ще има станции с аномален температурен градиент или температурна инверсия. Тогава величината на вертикалната рефракция ще бъде по-голяма от посочените стойности.

       За атмосферата се приема един или друг модел за температурата и атмосферното налягане. В геодезическата наука и практика се прилагат модели за температурата на въздуха T₀ и атмосферното налягане P на височината на инструмента H  по формулите:

(1) 

Означенията са: H – надморската височина на станцията в m; t₁, t₂ – измерени температури близо до терена, обикновено t₁=0.5 m и високо над терена  t₂=2.5 m, а ^оC е средната температура.

 Атмосферното налягане се изчислява по формулата:

(2)

където: g=9.81 m/sec^-1 е средната стойност на земното ускорение; R=287m²s^-2K^-1 е газова константа. Означенията b, H имат смисъла от форм. (1).

Освен температурния модел (1) и (2) е известен и модела на Holdahl [9, 14,16].

Известно е, че влиянието на атмосферното налягане върху вертикалната рефракция в геометричната нивелация е сравнително слабо, влажността на въздуха не оказва особено влияние, докато разпределението на температурата на въздуха по височина е доста разнообразно и трудно предсказуемо.

Атмосферният модел (1) и (2) коректно осигурява практическата реализация на прецизната нивелация, много добре се потвърждава и от реални измервания в България, Германия, Русия на различни надморски височини, месеци и години. Отклоненията между измерени стойности на P и изчислени по (2) са до 2.5 – 5%.

1. Теоретични аспекти на определянето на влиянието на вертикалната рефракция в прецизната нивелация

Коректно изчисление на влиянието на вертикалната рефракция при прецизната геометрична нивелация се извършва чрез измервания на температурата на въздуха t₁, t₂ и t₃  на височини z₁, z₂ и z₃ над терена (фиг.1). Точността на измерване на температурата трябва да бъде по-не по-малка от 0.05°C за да се регистрират разлики в температурата на височини, напр. 0.5, 1.5 и 2.5 m.

Фиг. 1

Фиг. 2

Фиг. 3

Измерените превишения на всяка станция се коригират в съответствие с изискванията за прецизната нивелация, включително и корекция за вертикалната рефракция r_ref, като се използва формулата на Kukkamaki [5, 6]:

(3)

където: S е разстоянието в метри от нивелира до латата; Z₁ е отчет по латата напред (Z₁ = Z_for), а Z₂ е отчета по латата назад (Z₂ = Z_back) в метри; Z₀ е височината на нивелира над терена в m; z₁ и z₂ са височините в m, на които са измервани температурите t₁, t₂.

В (3) d e изменението на рефракционния индекс при промяна на температурата с 1°С:

(4)   е средната температура в °C, а  P е атмосферно налягане в атмосфери при приет модел на атмосферата (2):

При инструмента средната температура на въздуха T₀ е (1) а с е среден коефициент на рефракция, изчислен по формулата на Kukkamaki:

 (5)     , Δt₁=t₂-t₁, Δt₂=t₃-t₂.

В оригиналната формула според [15,12, 8] Kukkamaki използва средна стойност  с=-1/3.

Формула(3) на Kukkamaki за корекция за вертикалната рефракция за отделна визура се използва и в [16 и 13]:

(6)     , като повечето означения са дефинирани при форм. (3). Останалите означения са:  

като Δhе превишението между станцията и визираната точка.

В съответствие с (3):

Знакът „минус“ в (4) по отношение на формулата на Kukkamaki се дължи на начина на определяне на превишението. В (3) то се изчислява по формулата

(8) .

Това следва да се има предвид при изчислението по формулите на Kukkamaki. От него е предложена и приблизителна формула за изчисление на поправката r_ref върху превишението h

(9)

в която

(10)

Важна роля в (3), (5, 6) и (10) играе стойността на с и неговата точност, при условие, че тя се получава от измервания на температурата на различни височини над повърхността на земята. Ефектът на вертикалната рефракция се предава върху измереното превишение, използвайки (форм. 7) или върху отчетите по латата, посредством форм. (6). От друга страна, релефът по нивелачната линия, както и местните промени на атмосферата (вятър, влажност и др.) също оказват влияние върху вертикална рефракция.

Влиянието на температурата на въздуха се изразява в промяна на вертикалния температурен градиент (11), който има нормална и анормална част на градиента.

(11)

като Т е абсолютната температурата на въздуха, а z е височина над земята, на която е измервана температурата t. Максималното изменение на температурата с повишаване на височината над земята е при инверсия на температурата, т.е. температурата се повишава с увеличаване на височината. По принцип инверсия на температурата настъпва през нощта, а неустойчивата стратификация на атмосферата е през деня и температурния градиент от отрицателен през утринните часове, стига до нула през деня и е положителен след обяд.

При ниските слоеве на атмосферата (10 m ≤ z ≤ 50 m), γ_а=const=-0.0098^оC/m и не зависи от височината z, докато γ_c зависи силно от височина z и обикновено се изразява с функция от вида  t=f (z).

В метеорологията разпределението на температурата по височина през деня се изразява с логаритмична зависимост от вида

(12) t=a+bz^c,

където a, b и c са константи, а z е височината над  земята в метри.

В теорията на вертикалната рефракция се използват три модела за атмосферата и определяне на γ_c[5]:

• модел на неутрална атмосфера:

(13) ; γ_а=-0.0098^оC/m;

• модел на неустойчива атмосфера:

(14) ;   с  е аномален температурен градиент на височина z=1 m;

• модел на устойчива атмосфера с инверсен температурен градиент:

(15) ;  γ_а=0.0098^оC/m .

Различни проучвания чрез емпирична обработка на данни, използват комбиниран модел на атмосферата.

 (16) ,  

който съответства на втория модел за определяне на γ_c, като експонентата на z  е приблизително 1. Очевидно γ_c=cz^-1.

Температурният градиент се променя през денонощието като приема положителни, нулеви и отрицателни стойности. Като се вземат предвид и сезоните промени,  достига до  -1^oC/100m през лятото и до -0.65^oC/100m през зимата.

Атмосферата в приземния слой оказва влияние върху прецизната нивелация чрез отклоняване на визирната линия на ъгъл ε_ν (фиг. 2) от хоризонталната линия във вертикалната равнина на нивелира, Този малък ъгъл увеличава или намалява отчета по латата. Когато ε_ν >0, отчетът по латата е по-голям и обратно.

Понастоящем точността на определянето на атмосферните въздействия е около 0.2 ÷ 0.3 mm за разстояния до 50 m, а точността на отчитанията на латите е около 0.05 ÷ 0.1 mm. Пределната точност за отчитане, например на деформация е около 0.02 ÷ 0.05 mm.

При γ_а=-0.0098^оC/m и с – аномален температурен градиент на височина h = z = 1 m, за ε_ν[5], се получава

Първият израз от дясната страна на (17) изразява ефекта от вертикалния градиент на атмосферното налягане, докато вторият израз е влиянието на нормалната част на температурния градиент, a третият израз е влиянието на анормалната част. Това прави формула (17) подходяща за научни изследвания за влиянието на всеки от трите фактора.

След заместване [5] с

(18) ,

където с h_e е означена еквивалентната височина на визирната линия над земята(фиг.3). За пояснение еквивалентната височина h_e е равна на височината на инструмента z₀, ако теренната линия е хоризонтална. Във всички други случаи тя е по-малка от z₀(визурата минава близо до терена) или е по-голяма от z₀ (визурата минава високо над терена. Приблизителната стойност на еквивалентната височина по (18) може да се изчисли без допълнителни измервания, както е направено в [13], но независимо от това тя правилно отразява влиянието на релефа върху вертикалната рефракция за всяка визура.

За ниските слоеве на атмосферата и и ΔP≤5 ÷ 10 мбара

Като се вземе това предвид, форм. (18), и че γ_а=-0.0098^оC/m, от формула(17), за ε_ν се получава:

(19)

През деня обикновено С < 0, следователно ε_ν> 0 и рефракционната крива е изпъкнала нагоре, а ε_ν ще бъде >0, когато

Тъй като h_e между две точки е постоянна величина, при инверсна атмосфера (най-често през нощта), рефракцията е положителна, а през деня преминава през нулата и става отрицателна. Предвид всички представени теоретични аспекти досега може да се заключи, че рефракцията може да има както положителни, така и отрицателни стойности.

Това се потвърждава и от практическите резултати от много статистически анализи– виж напр. табл. 4 в [13]. От 10 двустранно нивелирани линии и 2202 секции, в 1023 от тях средната стойност на коефициента на рефракция е отрицателен, а в 1179 – положителен. Средната стойност на коефициента на рефракция при нормална атмосфера от 1023 секции с е с=– 0.364 с точност М=0.031, а от 1179 секции при инверсна атмосфера – с=+0.421 с точност М=0.030.

2. Практически съображения за влиянието на вертикалната рефракция върху прецизната нивелация

Критерии за правилно отчитане на влиянието на вертикалната рефракция са:

• Разликата между превишенията в правия и обратния ход по нивелачна линия по абсолютна стойност. Тя трябва да е по-малка, отколкото когато рефракцията не се взема предвид;
• Несъвпадението в нивелачна линия между основни нивелачни репери по абсолютна стойност трябва също да е по-малко;
• Несъвпаденията в затворени нивелачни полигони трябва да бъдат по-малки по абсолютна стойност отколкото когато рефракцията не се взема предвид или нейното влияние не е коректно отчетено.

С формула (5) се определя коефициента на рефракция с за всяка станция при нивелацията като точкова стойност, постоянна за визури назад и напред и по (3 или 8) се изчислява поправката r_ref в превишението. В този случай не се отчита влиянието на релефа – едната визура може да бъде близо до терена, а другата – високо над него, т.е условията на визирането са различни. Освен това коректното използване на (5) е при спазване на условието z₂/z₁=z₃/z₂. Точно решение на (5) с измерени температури на трите височини е дадено в (8).

Изчислението на с по (5) не е възможно при всички случаи, напр. когато Δt₂=Δt_1, Δt₁=0, Δt₁=Δt₂=0. Този проблем може да се елиминира, ако се използва форм. (16), от която след интегриране се получава:

(20) .

или

(21) .

За с  се получава:

(22)

като

(23) ΔT=t₂-t₁

а z₁<z₂ са височините над терена, на които са измерени t₁, t₂.

В този случай не е необходимо да се измерва температурата при станцията на три височини. Температурата на нивелира t_s се измерва на неговата височина или автоматизирано от дигиталните нивелири. Измерва се многократно температурата t₁ при латата назад и t₂ при лата напред приблизително на височината на визурата.  Визирният лъч към задната лата преминава през въздушна среда със средна температура , докато визирния лъч към предната лата преминава през въздушна среда със средната температура . Изчислението на ΔT се извършва с    и . Изменението на вертикалната рефракция по линията нивелир – лата зависи и от  еквивалентната височина . За визура назад и напред коефициентите на вертикалната рефракция са съответно:  

(24)

Тук трябва да се припомни, че през деня при нормална атмосфера (фиг.1), когато за z₁<z₂<z₃; t₁>t₂>t₃, С<0, стига през деня до 0 и във вечерните часове и през нощта С > 0. При инверсна атмосфера, когато за z₁<z₂<z₃; t₁<t₂<t₃ и локални и регионални промени в приземния слой, през деня С може да бъде < 0, = 0 и > 0.

Подробни изследвания за определяне на вертикалния температурен градиент въз основа на измервания на температурата в 3-метровия атмосферен слой над земята са представени в (Symposium NAVD, 1985, както и в 11,16, 5, 13].

Заключение:

1. Вертикалната рефракция оказва систематично влияние при прецизната нивелация и може да достигне до 1 mm/km нивелачен ход и средно за превишение е 0,2 ÷ 0,3 мм. Рефракцията намалява измерените превишения. Грешката от рефракцията е приблизително пропорционална на квадрата на разстоянието нивелир – лата, което е отразено и във форм. (9) на Kukkamaki;

2. Особено съществена е точността, с която се измерва температурата на въздуха.

Това се обуславя и от факта, че разликите в температурите при 0,5 m и 1,5 m са от 3 до 4 пъти по-големи от разликите в температурните, измерени на  1,5 m и 2,5 m;

3. За коректно отчитане на влиянието на вертикалната рефракция на визурата нивелир – лата трябва да се правят повече от едно измервания на температурата при латите приблизително на височината на отчета по съответната лата;

4. Нивелирането в две посоки (напред и назад) при сходна атмосфера не елиминира ефекта на рефракцията. Вместо това трябва да се извършва нивелация в двата хода при различни температурни разпределения и състояния на атмосферата;

5. Вместо (9), Красовски [5] предлага формулата:

(25) ,

където h е превишението между точките, S е разстоянието между двете лати в m, α = 0.00366 е коефициентът на разширение на въздуха. Температурите t₁, t₂ и t₃ се измерват съответно при задната лата, нивелира и предната лата на височината на визирния лъч за съответната лата.  В(25) . Изследванията и сравненията на корекцията заради вертикалната рефракция по (9) и (25) са в полза на тези, изчислени по форм. (25) дори при разлика в температурата ΔT>0,5^oC. Ако се вземе под внимание влиянието на еквивалентната височина, поправката за рефракцията за всяка визура следва да се изчисли  по формулата: 

като 

и съответната корекция в превишението е .

6. Коефициентът с се определя по (22). Независимо от начина на изчислението му трябва да се използва форм. (24). Този подход има практически ефект, който намалява несъвпаденията в нивелачни линии и в затворени полигони до 40-50%.

ЛИТЕРАТУРА

 1. Господинов Сл., Е. Пенева, П. Пенев, Т. Ламбева, Ю. Цановски, С. Джорова, Г. Маринов, И. Радев. Съвременни аспекти на геометричната нивелация. София, Годишник на  Университета  по архитектура, строителство и геодезия, 2016, том 49.

2. ГУГКК. Инструкция за нивелация I и II клас. София, 1980.

3. МРРБ. Наредба № 2 от 30 юли 2010 г. за дефиниране, реализация и поддържане на Българската геодезическа система. 2010.

4. МРРБ. Наредба № РД-02-21-1 от 9 юли 2015 г. за Държавната нивелачна мрежа. 2015.

5. Островский, А. Л. и др. (1990) Учет атмосферных влияний на астрономо-геодезические измерения, Москва, Недра.

6. Agnus-Leppan, P. (1984) Refraction in geodetic levelling. In: F. K. Brunner (Ed.) Geodetic refraction: Effects of electromagnetic wave propagation through the atmosphere, Springer-Verlag, Berlin, pp 163-180.

7. Castle, R., R. Mark, R. Shaw (1994) An empirical assessment of refraction error in levelling as a function of survey order and environment. US Geological Survey Bulletin 2114, 50 p.

8. Heer, R., W. Niemier (1985) Theoretical models, practical experiments and the numerical evaluation of refraction effects in geodetic levelling. Proc. 3rd Int. Symposium on the North American Vertical Datum, 1985, Nation. Oceanic Atmos. Admin., Silver Spring, USA, pp. 321-342

9. Holdahl, S. (1979) Removal of refraction errors in geodetic levelling. In: Tengstrom, E., Teleki, G., (Eds.) Refractional Influences in Astronomy and Geodesy. International Astronomical Union, pp 305-319

10. Kukkamaki, T. (1938) Uber die nivellitische refraction. Finnish Geodetic Ins. Pub. No. 25, Helsinki, 48 pp.

11. Kukkamaki, T. (1939) Formelen und Tabellen zur Berechnung der Nivellitischen Refraktion. Finnish Geodetic Institute Publication No. 27, Helsinki, 18 pp.

12. Nakahori, Y., S. Kanno (1985) Preliminary refraction test results in levelling. J. Geod. Soc. of Japan, vol. 31, No 3, pp. 254-260

13. Othman Al-Kherayef, V. Vаlchinov, R. Grebenicharsky, St. Valcheva, B. Al-Muslmania, U. Al-Rubia. Refraction coefficient determination and modelling for the territory of the Kingdom of Saudi Arabia. Turkey, FIG Congress, 2018

14. Stein, R., C. Whalen, S. Holdahl, W. Strange, W. Thatcher (1986) Saugus-Palmdale, California, field test for refraction error in historical levelling surveys. Journal of Geophysical research, vol. 91, No B9, pp 9031-9044

15. Webb, E. K. (1969) The temperature structure of the lower atmosphere. Proc. REF-EDM Conference, Univ. NSW, Sydney, pp. 1-9

16. Whalen, C. (1981) Results of levelling refraction tests by the National Geodetic Survey, Rockville,USA

{module [180]}