Геодезия

Координатни трансформации във фотограметрията

Ст. н. с. д-р инж. Иван Кацарски

Въведение

В подхода на стереофотограметрията към задачите, които й поставя практиката, са очертани три основни тенденции:
·     Прилагане на аналоговата фотограметрия, която е традиционна за тази техническа наука, но вече почти не се практикува.
·     Въвеждане на аналитичната фотограметрия, която доскоро беше считана за по-нова.
·     Развитие на дигиталната фотограметрия, която е най-новият и перспективен дял на фотограметрията.

Принципната разлика между аналоговата, аналитичната и дигиталната фотограметрия се състои в начина на използване на снимките като първоизточник на информация, или по-специално, в начина на създаване и вида на създадения пространствен фотограметричен модел на заснетия обект. Това води до конструиране на различни фотограметрични апарати, системи, работни станции и създаване на програмни продукти, както и на различно използване на изчислителна техника.

Аналоговата, аналитична и дигиталната фотограметрия имат предимствени области на приложение, рязка граница между които не може да се сложи. Освен това в известен смисъл те са взаимозаменяеми, а в отделни техни процеси се прилага един и същ подход. Такъв процес, например, е трансформирането на създадения пространствен фотограметричен модел от пространствената фотограметрична координатна система в геодезическата координатна и височинна системи. В следващото изложение се има предвид предимно такова трансформиране.

Трансформации от общ вид

Трансформациите, които са разисквани в тази статия, се отнасят за координатни системи в триизмерното (Е3) и двуизмерното (Е2) Евклидово пространство (Eúkλειδηζ, ІІІ в. пр. Хр.). По своя характер това са геометрични, а от алгебрична гледна точка повечето са линейни трансформации.

Една трансформация между две координатни системи може да бъде означена най-общо последния начин:

(1)     R’ = Ao+A.r,

където: R’ е матрицата-вектор на геодезическите координати,
r e матрицата-вектор на подлежащите на трансформиране фотограметрични
координати,
AO е матрицата-вектор на елементите на транслация,
A е матрицата, съдържаща останалите трансформационни елементи.

В зависимост от това колко на брой и с какво предназначение са елементите, съдържащи се в матриците AO и A, връзката (1) може да изразява трансформация от един или друг вид. Винаги обаче трансформацията се извършва на два етапа:
·     Определяне на трансформационните елементи (коефициенти) въз основа на някакъв брой точки със зададени (известни) координати и в двете координатни системи (например, фотограметрични и геодезически координати).
·     Изчисляване на координатите на всички точки, които имат координати в (старата) координатната система, от която се трансформира в (новата) координатна система, в която се трансформира (например, от фотограметричната в геодезическата координатна система).

При трансформиране на фотограметрични модели, ако в матриците AO и A се съдържат общо u елемента, които са считани за известни, за еднозначното им определяне са необходими също u на брой известни елемента, които представляват геодезическите координати на някои от моделните точки. Ако са дадени k > u елемента, определянето на неизвестните следва да стане по метода на най-малките квадрати. В такъв случай е по-удобно за “наблюдавани” величини да бъдат считани геодезическите координати на дадените точки. За тези точки след линеализиране на условието (1), ако то не в линейна форма, следват уравненията на наблюденията:

(2)     R’ = R+V,

където: R е матрицата-вектор на подлежащите на изравнение геодезически координати,
V е матрицата-вектор на поправките към тях.

От връзките (1) и (2) се получават уравненията на поправките:

(3)     V = AO+A.r–R,

следвани от нормалните уравнения:

(4)     N.α–L = 0,

където: N е матрицата на нормалната система.
α е матрицата-вектор, съдържаща неизвестните трансформационни елементи,
L е матрицата-вектор на свободните членове.

При решаването по метода на най-малките квадрати е удобно да се направи предварително елиминиране по Гаус (Karl Fridrich Gauss, 1777-1855) на транслационните елементи. Този начин е приложим само тогава, когато в уравненията на поправките всички коефициенти пред неизвестното, което ще бъде елиминирано, са равни на единица и наблюденията са с еднаква точност. Изравнението на координатните трансформации представлява именно такъв случай. В резултат на елиминирането се получават един път редуцираните нормални уравнения, на които съответстват редуцираните уравнения на поправките.

Пространствено трансформиране

Всяко специализиране на условие (1) води до трансформация със специфични свойства. След влагане на съответен смисъл в елементите на матриците AO и A, се получават последователно афинна, квазиафинна, Хелмертова (Friedrich Robert Helmert, 1843-1917) или ортогонална пространствена трансформация.

Пространствената афинна трансформация се изразява със следните три равенства:

         Y = a10+a11.x+a12.y+a13.z,
(5)     X = a20+a21.x+a22.y+a23.z,
         Z = a30+a31.x+a32.y+a33.z.

Пространствената афинна трансформация осъществява едновременно транслация, ротация и дилатация, като последната извършва различно свиване или разтягане по 3 оси в общо положение. Дилатацията предполага, че осите на фотограметричната координатна система са разномащабни и неортогонални. Поради това 3 от 9-те елемента аi, j (i, j = 1, 2, 3) на матрицата A означават ротация, а останалите 6 елемента означават дилатация. От тях 3 елемента означават мащабните множители на координатните оси и 3 елемента означават ъглите между координатните оси. Векторът AO съдържа 3-те транслационни елемента ai0 (i = 1, 2, 3). При тези разсъждения се има предвид матричен запис на трансформационните формули (5).

В матриците AО и A се съдържат общо 12 неизвестни аi,j (i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, 3), за еднозначното определяне на които са необходими общо 12 дадени елемента. В такъв случай трябва да са известни (дадени) равнинните геодезически координати Y и X на 4 точки и височината Z също на 4 точки. Не е от особено значение, дали са дадени пространствените координати на 4 точки, или равнинните координати на 4 точки и височините на други 4 точки, или някаква комбинация от тези две възможности. Винаги обаче трябва да бъдат измерени (или изчислени) 3-те моделни координати x, y, z на всички тези точки.

Трансформационните формули (5) показват, че трансформирането по всяка координатна ос се извършва независимо от трансформирането по другите две оси. Решението е директно. За да има решение, 4-те моделни точки, използвани за трансформирането по всяка ос, не трябва да лежат на една равнина в пространството.

Тук разискваната афинна трансформация е от първа степен, т. е. тя е линейна по характер. Ако към членовете на формули (5) са добавят съответни членове съдържащи по-висока степен (например, втора, трета и т. н.), тя става афинна трансформация от съответната по-висока степен.

Пространствената квазиафинна трансформация. се изразява със следните три равенства:

     Y = СY + KY.{x(sinφ.sinω.sinα+cosφ.cosα) + y(sinφ.sinω.cosα+cosφ.sinα)+z.sinφ.cosω},
(6) X = СX + KX.{x.cosω.sinα+y.cosω.cosα–z.sinω},
     Z = СZ + KZ.{x(cosφ.sinω.sinα-sinφ.cosα) + y(cosφ.sinω.cosα +sinφ.sinα)+z.cosφ.cosω}.

Пространствената квазиафинна трансформация, също като афинната, осъществява едновременно транслация, ротация и дилатация, но последната извършва различно линейно свиване или разтягане по 3 ортогонални оси. Тук дилатацията предполага, че осите на фотограметричната координатна система са също разномащабни, но ортогонални. Поради това броят на неизвестните в матрицата А остава 6, от които 3-те мащабни множителя Ki (i = Y, X, Z) осъществяват дилатацията, а 3-те ъгъла ?, ?, ? извършват ротацията. Векторът АО подобно на афинната трансформация съдържа 3-те транслационни елемента Ci (i=Y, X, Z ). В матриците АО и А се съдържат общо 9 неизвестни и за еднозначното им определяне са необходими също 9 на брой дадени (известни) елемента. В този случай трябва да са дадени пространствените геодезически координати Y, X, Z на 3 точки и измерени (или изчислени) 3-те моделни координати x, y, z на същите точки.

Решението се извършва итеративно след линеализиране на трансформационните формули (6). Решението е възможно, само ако 3-те моделни точки, използвани за изчисляване на трансформационните елементи, не лежат на една права в пространството.

Пространствената Хелмертова трансформация, която по своя геометричен характер е ортогонална, се изразява с 3 равенства, подобни на равенства (6) за квазиафинната трансформация, в които обаче вместо 3 различни мащабни множители Ki (i = Y, X, Z) има само един мащабен множител К по 3-те координатни оси.

Пространствената Хелмертова трансформация осъществява също едновременно транслация, ротация и дилатация, но последната извършва еднакво линейно свиване или разтягане по 3 ортогонални оси. Тук дилатацията предполага, че осите на фотограметричната координатна система са не само ортогонални, но и равномащабни. Поради това общият брой на неизвестните става 7. От тях 3 са ротационните ъгли, 3 са транслационните елементи и един е мащабният множител К. За еднозначното им определяне е необходимо да са дадени (известни) пространствените координати X, Y, Z на 2 точки и височината Z на една трета точка, както и да са измерени (или изчислени) съответните моделни координати.

Подобно на квазиафинната трансформация решението е итеративно след линеализиране на трансформационните уравнения. Решението е възможно, само когато 3-те моделни точки, използвани за определяне на трансформационните елементи, не лежат на една права в пространството.

Пространствената ортогонална трансформация е обикновената трансформация между две координатни системи, позната от аналитичната геометрия. Изразява се с 3 равенства, подобни на равенства (6) за квазиафинната трансформация, в които обаче няма мащабни множители Кi, нито пък единствен мащабен множител К, както при Хелмертовата трансформация.

Пространствената ортогонална трансформация осъществява също едновременно транслация и ротация, но не извършва дилатация. Поради това общият брой на неизвестните става 6. От тях 3 са ротационните ъгли и 3 са транслационните елементи. За еднозначното им определяне е необходимо да са дадени пространствените координати X, Y, Z на една точка, равнинните координати X, Y на още една точка и височината Z на една трета точка, както и да са измерени (или изчислени) съответните моделни координати.

Подобно на квазиафинната и на Хелмертовата трансформация решението е итеративно след линеализиране на трансформационните уравнения. Решението е възможно, само когато 3-те моделни точки, използвани за изчисляване на трансформационните коефициенти, не лежат на една права в пространството.

Равнинно трансформиране

На всяка от пространствените трансформации отговаря по една равнинна трансформация, която има аналогични свойства на съответната пространствена трансформация, но валидни за равнината.

Равнинната афинна трансформация се изразява със следните две равенства:

(7)     Y = a10+a11.x+a12.y,
         Х = a20+a21.x+a22.y,

където символите имат значения, аналогични на тези във формули (5). Казаното за степените на пространствената афинна трансформация важи и за равнинната афинна трансформация.

Равнинната афинна трансформация има 6 неизвестни елемента, за еднозначното определяне на които трябва да са дадени равнинните геодезически координати Y, X на 3 точки и измерени (или изчислени) съответните моделни координати. Решението е директно, но възможно, само когато 3-те моделни точки, използвани за определяне на трансформационните коефициенти, не лежат на една права.

Равнинната квазиафинна трансформация се изразява със следните две равенства:

(8)     Y = CY+KY . (x.cosα – y.sinα),
         X = CX+KX . (x.sinα + y.cosα),

където символите имат значения, аналогични на тези във формули (6).

Равнинната квазиафинна трансформация съдържа 5 неизвестни елемента. За еднозначното им определяне трябва да са дадени (известни) равнинните координати Y, X най-малко на 2 точки и една координата (Y или X) на друга точка, а така също да бъдат измерени (или изчислени) съответните моделни координати. Решението е итеративно след линеализиране на трансформационните формули (8) и е независимо от разположението на точките в равнината.

Равнинната Хелмертова трансформация се изразява с 2 равенства, подобни на равенства (8) за квазиафинната трансформация, в които обаче вместо 2 различни мащабни множители
Ki (i = Y, X) има само един мащабен множител К по 2-те координатни оси. Трансформацията най-често се изразява по следния начин:

(9)     Y = CY+a.x+b.y,
         X = CX+b.x+a.y.

Равнинната Хелмертова трансформация съдържа 4 неизвестни елемента. За еднозначното им определяне трябва да са дадени равнинните координати Y, X най-малко на 2 точки, а така също да бъдат измерени (или изчислени) съответните моделни координати. Решението е директно и е независимо от разположението на точките в равнината.

Равнинната ортогонална трансформация се изразява с 2 равенства, подобни на равенства (8) за квазиафинната трансформация, в които обаче няма мащабни множители Ki (i = Y, X), нито пък един мащабен множител К, както при Хелмертовата трансформация.

Равнинната ортогонална трансформация съдържа 3 неизвестни елемента. За еднозначното им определяне трябва да са дадени равнинните координати Y, X на една точка и едната координата (Y или X) на друга точка, а също така да бъдат измерени (или изчислени) съответните моделни координати. Решението е директно и не зависи от разположението на точките в равнината.

Мономорфна и проективна трансформация

Пространствената мономорфна трансформация се изразява със следните формули:

           X = (aO+a1.x+a2.y+a3.z) : (1+d1.x+d2.y+d3.z),
(10)     Y = (bO+b1.x+b2.y+b3.z) : (1+e1.x+e2.y+e3.z),
           Z = (cO+c1.x+c2.y+c3.z) : (1+f1.x+f2.y+f3.z),

където: ai, bi, ci (i = 0,1,2,3) и di, ei, fi (i = 1,2,3) са трансформационните коефициенти.

Пространствената мономорфна трансформация има 21 неизвестни трансформационни коефициента, за еднозначното определяне на които са необходими също толкова известни елемента.

Ако във формули (10) се елиминират членовете със z, както и трета формула за Z, се получава равнинна мономорфна трансформация, която съдържа 10 трансформационни елемента, за еднозначното определяне на които са необходими също толкова дадени величини.

Простарнствена проективна трансформация. Ако във формули (10) положим di = ei =
fi (i =1, 2, 3), пространствената мономорфна трансформация се превръща в пространствена проективна трансформация:

           X = (aO+a1.x+a2.y+a3.z) : (1+d1.x+d2.y d3.z),
(11)     Y = ( bO+ b1.x+b2.y+b3.z) : (1+d1.x d2.y+d3.z),
           Z = (cO+c1.x+c2.y+c3.z) : (1+d1.x d2.y+d3.z).

Пространствената проективна трансформация има 15 неизвестни трансформационни коефициента, за еднозначното определяне на които са необходими също толкова известни елемента.

Ако във формули (11) се елиминират членовете със z, както и трета формула за Z, се получава равнинна проективна трансформация, която съдържа 8 трансформационни елемента, за еднозначното определяне на които са необходими също толкова дадени величини.

Ако във формули (11) положим di = 0 (i =1, 2, 3), пространствената мономорфна трансформация се превръща в пространствена афинна трансформация.

           X = aO+a1.x+a2.y+a3.z,
(12)     Y = bO+b1.x+b2.y+b3.z,
           Z = cO+c1.x+c2.y+c3.z.

Формули (12) са идентични с формули (5), но трансформационните коефициенти са означен по друг начин.

Ако във формули (12) се елиминират членовете със z, както и трета формула за Z, се получава равнинна афинна трансформация.

Височинно трансформиране

Излизайки от връзката (1), може да се получи височинна трансформация от следния вид:

(13)     Z = CZ+φ.x+ω.y+α.z.

Тази трансформация извършва транслация CZ по координатната ос Z, както и ротации ?, ? и ? около трите координатни оси Y, X и Z. Мащабният множител KZ трябва да бъде предварително известен. Поради това броят на неизвестните е 3 и за еднозначното им определяне са необходими също толкова дадени елемента. В такъв случай трябва да са известни височините Z на 3 точки и измерени (или изчислени) 3-те моделни координати x, y, z на същите точки. Проекциите на тези 3 точки върху координатната равнина YOX не трябва да лежат на една равнина. В противен случай решението няма смисъл.

Височинната трансформация може да се приложи, само ако предварително е извършена равнинна трансформация на фотограметричния модел.

Избиране на трансформация

Трансформиране на дигитални стереофотограметрични модели. Най-естествено е за трансформиране на дигитални стереофотограметрични модели да се приложи една от разгледаните пространствени трансформации. Техните особености могат да бъдат обобщени, както следва:
·     Връзката между пространствения фотограметричен модел и терена (обекта) най-пълно се характеризира с пространствената афинна трансформация. За сметка на това необходимият брой дадени точки е най-голям, а така също ограничението за взаимното им пространствено разположение може в някои случаи да доведе до затруднения.
·     Пространствената квазиафинна трансформация изисква по-малък брой дадени точки, обаче трансформационните уравнения не са линейни и решението им е итеративно.
·     Пространствената Хелмертова трансформация изисква още по-малък брой дадени точки, но решението също не е директно. Ограничението за разположението на дадените точки не води до затруднения.
·     Пространствената ортогонална трансформация не съдържа мащабен множител и не извършва дилатация.

Разгледаните равнинни трансформации имат същите предимства и недостатъци както съответните им пространствени трансформации. Изключение прави равнинната Хелмертова и равнинната ортогонална трансформация чието решение е директно.

В различните комбинации между равнинната афинна, квазиафинна, Хелмертова или ортогонална трансформация от една страна и височинното трансформиране от друга, броят на необходимите дадени величини е винаги по-малък или равен на този при съответната пространствена трансформация.

Трансформирането на дигитален пространствен фотограметричен модел може да се извърши и с комбинация между равнинна трансформация, последвана от височинно трансформиране.

В таблица 1 са обобщени някои параметри на различните видове трансформации.

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Трансформация

 

 

 

 

 

 

 

Необходими дадени величини

Ограничения за взаимното положение

на необходи-

мите точки

 

Трансформационни елементи

 

 

 

Всичко

 

Транслации

 

Ротации

 

Дилатации

 

 

 

Всичко

Линейни

Ъглови

Y X Z

 

Пространствена афинна

12

3

3

6

3

3

4 4 4

Да не са компланарни

Пространствена квази-афинна

9

3

3

3

3

3 3 3

Да не са колинеарни

Пространствена хелмертова

7

3

3

1

1

2 2 3

Да не са колинеарни

Пространствена ортогонална

6

3

3

2 2 2

Да не са колинеарни

Равнинна афинна

6

2

1

3

2

1

3 3 –

Да не са колинеарни

Равнинна квазиафинна

5

2

1

2

2

3 2 –

Няма ограничения

 

 

 

 

 

 

 

(2) (3)

 

Равнинна хелмертова

4

2

1

1

1

2 2 –

Няма ограничения

Равнинна ортогонална

3

2

1

2 1 –

Няма ограничения

Височинно трансфомиране

3

3

– – 3

Да не са колинеарни

Подход при избиране на трансформация. Резултатът от натрупания практически опит, допълнен с тук третираните въпроси, дава основание за известни предпочитания при избора на трансформациите:
·     В зависимост от броя на дадените точки може са приложи пространствена афинна трансформация или комбинация от равнинна афинна и височинна трансформация, така също от равнинна Хелмертова и височинна трансформация.
·     Винаги е за предпочитане да се използва трансформация, осигуряваща свръхчислен брой наблюдения, които дават възможност да бъде приложено изравнение по метода на най-малките квадрати и да се направи оценка на точността.
·     Пространствената Хелмертова трансформация, поради итеративния си характер на решението, трябва да се избягва.
·     Пространствената квазиафинна трансформация или комбинацията от равнинна квазиафинна с височинна трансформация изобщо не е за препоръчване.
·     Мономорфната и проективната трансформации са от по-общ вид и имат повече качества от най-често използваните трансформации във фотограметрията, понеже взимат под внимание моделни деформации от по-висока степен. Въпреки това би трябвало да се използват в редки случаи, понеже изискват сравнително по-голям брой известни величини дори за еднозначно решение.

При трансформирането на единични фотограметрични модели подобренията, които внасят пространствената афинна трансформация или комбинацията от равнинна афинна и височинна трансформация, в сравнение с комбинацията от равнинна Хелмертова с височинна трансформация, са незабележими.

Пример: Посредством аналоговия стереокартировъчен апарат Stereometrograph (Zeiss-Jena) е създаден и измерен пространствен фотограметричен модел в дигитална форма. Моделът е осигурен с 4 опорни точки, на които са известни геодезическите координати и надморските височини и още 2 височинни точки, дадени само с надморските височини. Трансформирането на модела е извършено трикратно, като са използвани следните комбинации:
·     Равнинна Хелмертова трансформация и височинна трансформация.
·     Равнинна афинна трансформация и височинна трансформация.
·     Пространствена афинна трансформация.

В Таблица 2 са посочени поправките и стандартните грешки получени в резултат на трансформирането на модела.

Таблица 2

 

 

 

 

Точка №

Комбинация от равнинна хелмертова

Комбинация от равнинна афинна с височинна трансформация

Пространствена афинна трансформация

cm:

VX VY VS VH

VX VY VS VH

VX VY VS VH

35

+10  -10  14

+4   -8   9

 

36

-9   +5  10   0

-4   +8   9  0

               0

55

+ 1 +11 11 +4

-4  +8  9  +4

             +4

56

-2   -6   6   -5

+4  -8  9  -5

             -4

21

                -8

               -8

              -8

22

                +4

              +4

             +8

 

σX=σY± 11 cm

σX=± 8 cm

 

 

 

σY=± 16 cm

 

 

σS=± 16 cm

σS=± 18 cm

 

 

σH=± 5 cm

σH=± 5 cm

σH=± 5 cm

В резултат на трансформирането на фотограметричния модел с пространствена афинна трансформация не се получават планиметрични поправки и стандартни грешки, понеже броят 4 на опорните точки, дадени с геодезическите си координати, е достатъчен само за еднозначно решение на трансформацията по двете оси X и Y, но не и за изравнение по метода на най-малките квадрати. От друга страна обаче броят 5 на височинните точки с известни надморски височини е достатъчен за височинно (Н) изравнение по МНМК.

Литература

  1.      Иванов, И. С. Приложение на формулата на Хелмерт за трансформиране на фотограметрични координати в геодезически. София, Геодезия, картография, земеустройство, 4, 1968.
  2.      Кацарски, И., И. Тотоманов. Един начин за геодезическо ориентиране при аналитична аеротриангулация. София, Известия на Централната лаборатория по геодезия, БАН, VІІІ, 1967.
  3.      Кацарски, И. Трансформиране на фотограметрични модели. София, Известия, Главно управление по геодезия и картография, 1, 1971.
  4.      Кацарски, И. Приложение на мономорфната трансформация във фотограметрията. София, Известия, Главно управление по геодезия и картография, 3, 1974.
  5.      Кацарски, И. Простарнствената афинна трансформация във фотограметрията. София, Геодезия, картография, земеустройство, 2, 1985.
  6.      Кацарски, И. Основи на фотограметрията (Записки). София, ГИС СОФИЯ ЕООД, 2002.
  7.      Кацарски, И. Приложни и теоретични въпроси на фотограметрията (Сборник). София, ГИС СОФИЯ ЕООД, 2005.
  8.      Минчев, С. Един метод за трансформиране на моделни координати. София, Геодезия, картография, земеустройство, 4, 1972.
  9.      Тренков, И., Н. Петрова, И. Кацарски. Върху приложението на пространствената афинна трансформация във фотограметрията. София, Известия, Главно управление по геодезия и картография, 1-2, 1978.
  10.      Atkinson, K. B. (Editor).Close-range photogrammetry and machine vision. Caithness, Scotland, U.K., Wittles Publishing, 2000.
  11.      Hallert, B. Photogrammetry. New York, McGraw-Hill Book Company, 1960.
  12.      Hofmann, O. Orientierungsverfahren. Jena, Kompendium Photogrammetrie, B.II, Carl Zeiss, 1959.
  13.      Manual of photogrammetry, 5th edition. Bеthesda, Maryland, American Society for Photogrammetry and Remote Sensing, 2004.
  14.      Moffitt, F. H., E. M. Mikhail. Photogrammetry, 3th edition. New York, Harper & Row Publishers, 1980.
  15.      Schoeler, H. Zur Teorie und Praxis der raumlische Aerotriangulationen. Jena, Kompendium Photogrammetrie, B. III, Carl Zeiss, 1959.
  16.      Szangolies, K. Die Verwendung von Rechenautomat fur die photogrammetrische Auswertung. Jena, Kompendium Photogrammetrie, B. IV, Carl Zeiss, 1961.
  17.      Wolf, P. R. Elements of photogrammetry. New York, McGraw-Hill Book Co.,1974.

Автор

Super User

И все пак тя се върти…
Rotating_earth
Rotating_earth
От категорията
Гео-портал на минестерството на отбраната

Contact Us