СИСТЕМАТИЗИРАНЕ НА НЯКОИ КООРДИНАТНИ ТРАНСФОРМАЦИИ

Ст.н.с.  д-р  инж.  Иван Кацарски

УВОД

            Трансформациите между две координатни системи са от съществено значение както за математиката, така също за някои приложни науки, като например, геодезията и фотограметрията. Тази статия е един опит за систематизиране на някои от познатите координатни трансформации.

            Трансформациите, разисквани в статията, се отнасят за координатни системи в триизмерното (Е₃) и двуизмерното (Е₂) Евклидово пространство (Ευκλειδηξ , 323-284 пр. Хр., древногръцки математик, наричан „Баща на геометрията“, създал принципи, известни като „Евклидова геометрия“).

В статията са разисквани 6 пространствени координатни трансформации, от които, след опростявания, се получават 6 равнинни трансформации, или общият брой на разискваните трансформации е 12.

            Различните координатни трансформации имат различен n брой неизвестни трансформационни коефициенти. Еднозначното им определяне изисква същия различенn брой известни величини.

КООРДИНАТНА ТРАНСФОРМАЦИЯ ОТ ОБЩ ВИД

            Една трансформация между две координатни системи може да бъде означена най-общо по следния начин:

(1)               R’ = A₀ + A.r  ,

където: R’  е матрицата-вектор, например, на геодезическите координати,

              r    е матрицата-вектор на подлежащите на трансформиране, например,

                   фотограметрични координати,

             A₀  е матрицата-вектор на транслационните елементите,

             A   е матрицата, съдържаща останалите трансформационни елементи.

            В зависимост от броя и предназначението на елементите в матриците A₀ и А, връзката (1) може да изразява различни трансформации.

            Ако матриците A₀ и A съдържат общо u известни елемента, за тяхното еднозначно определяне са необходими също u известни елемента. Ако обаче са известни n > u елемента, тяхното определяне трябва да бъде изпълнено по Метода на най-малките квадрати.

            Когато условието (1) не е в линейна форма, след неговото линеализиране следват нормалните уравнения:

            (2)       R’ = R +  V ,

където: R е матрицата-вектор на координатите, предмет на изравнение,

              V е матрицата-вектор техните поправките.

            От връзките (1) и (2) се получават уравненията на поправките:

            (3)       V = A₀ + A.r – R ,

следвани от нормалните уравнения:

            (4)       N.a – L = 0 ,

където: N е матрицата на нормалната система (нормалната матрица),

             a  е матрицата-вектор, съдържаща неизвестните трансформационни елементи,

             L е матрицата-вектор на свободните членове.

ПРОСТРАНСТВЕНИ КООРДИНАТНИ ТРАНСФОРМАЦИИ

            Всяко специализиране на условие (1) води до трансформация със специфични характеристики. След влагане на съответен смисъл на елементите на матриците A₀ и A , се получават афинна, квази-афинна, Хелмертова (Friedrich Robert Helmert, 1843-1917, германски геодезист, професор в Берлинския университет, директор на Геодезическия институт в Потсдам) или ортогонална пространствена трансформация.

Пространствена афинна трансформация

Тази трансформация се изразява със следните 3 равенства:

(5)               Y = a₁₀ + a₁₁.x + a₁₂.y + a₁₃.z ,

X = a₂₀ + a₂₁.x + a₂₂.y + a₂₃.z ,

Z = a₃₀ + a₃₁.x + a₃₂.y + a₃₃.z .

            Пространствената афинна трансформация осъществява едновременно транслация,   ротация   и   дилатация.   Формули   (5)   съдържат   общо   12   неизвестни

a_ij (i = 1, 2, 3;  j= 1, 2, 3). За тяхното еднозначно определяне са необходими общо 12 известни елемента.

            Трансформационните формули (5) показват, че трансформирането по всяка координатна е независимо от трансформациите по другите две оси. Решението е директно, но точките, използвани при трансформирането, трябва да не са компланарни.

            Тук разискваната пространствена афинна трансформация е от първа степен, т. е тя е линейна. Ако към членовете във формули (5) се добавят съответно членове от по-висока степен (например, втора, трета и т. н.), тя става трансформация от съответната по-висока степен (втора, трета и т. н).

Пространствена квази-афинна трансформация

Тази трансформация се изразява със следните 3 равенства:

                         Y = C_y + K_y.{x.(sinφ.sinω.sinα + cosφ.cosα)+

                          + y. (sinφ.sinω.sinα + cosφ.sinα) + z.sinφ. cosω} ,

(6)               X = C_x+ K_x.{x. cosω.sinα + y. cosω.cosα – z.sinα} ,

                          Z = C_z + K_z.{x.(cosφ.sinω.sinα + sinφ.cosα)+

                          + y.( cosφ.sinω.cosα + sinφ.sinα )+ z. cosφ.cosω} .

            Пространствената квази-афинна трансформация, както афинната, осъществява едновременно транслация, ротация и дилатация, по последната извършва различно свиване или разтягани по трите оси. Броят неизвестните става 9, от които 3 са мащабните множители K_i(i = Y, X, Z), осъществяващи дилатация, 3 са ъглите φ, ω, α, извършващи ротация и C_i (i = Y, X, Z) са 3 транслационни елемента. За тяхното еднозначно определяне са необходими общо 9 известни елемента.

            Решението е итеративно след линеализиране на трансформационните формули (6), но точките, използвани за трансформирането, трябва да не са колинеарни.

Пространствена Хелмертова трансформация

            Тази трансформация, която по своята геометрична същност е ортогонална, се изразява с 3 равенства, подобни на равенства (6) за квази-афинната трансформация. Хелмертовата пространствена трансформация обаче вместо 3 различни мащабни множители K_i(i = X, Y, Z) има само един мащабен множител K по тритекоординатни оси.

            Трансформацията осъществява транслация, ротация и дилатация, но последната извършва еднакво свиване или разтягане по трите координатни оси. Порази това общият брой на неизвестните трансформационни коефициенти става 7. От тях 3 са ротационни ъгли, 3 са транслационни елементи и един е мащабен множител K. За тяхното еднозначното определяне трябва да са известни пространствените координати Y, X, Z на 2 точки ивисочината Z на една трета точка. За тяхното еднозначно определяне са необходими общо 7 известни елемента.

            Подобно на квази-афинната трансформация решението е итеративно след линеализиране на трансформационните уравнения, но точките, използвани за трансформирането, трябва да не са колинеарни.

Пространствена ортогонална трансформация

Тази трансформация е обикновена пространствена трансформация между две координатни системи. Изразява се с 3 равенства, подобни на равенства (6) за квази-афинната трансформация.

Трансформацията също осъществява едновременно транслация и ротация, но не извършва дилатация. Поради това общият брой на трансформационните елементи е 6. От тях 3 са ротационни ъгли и 3 са транслационни елемента. За тяхното еднозначно определяне трябва да са известни пространствените координати Y, X, Z на една точка, равнинните координати Y, X на още една точка и височината Z на трета точка.

Както при квази-афинната и Хелмертовата трансформация има итеративно решение, след линеализиране на трансформационните уравнения, но точките, използвани за трансформирането, трябва да не са копланарни.

РАВНИННИ КООРДИНАТНИ ТРАНСФОРМАЦИИ

На всяка от тук разискваните пространствени координатни трансформации отговаря по една равнинна трансформация, имайки аналогични свойства на съответната пространствена трансформация, но валидни за равнината.

Равнинна афинна трансформация

            Тази трансформация се изразява със следните 2 равенства:

            (7)       Y = a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ ,

                               X = a₂₀ + a₂₁ + a₂₂ ,

където символите имат аналогични значения на тези във формули (5). Информацията за степените на пространствената афинна трансформация е валидна също за равнинната афинна трансформация.

            Равнинната афинна трансформация има 6 неизвестни елемента и за тяхното еднозначно определяне трябва да бъдат известни равнинните координати Y, X на 3 точки. Решението е директно, но точките, използвани за трансформирането коефициенти, трябва да не са колинеарни.

Равнинна квази-афинна трансформация

            Тази трансформация се изразява със следните 2 равенства:

(8)       Y = C_y + K_y.(x.cosα – y.sinα) ,

X = C_x + K_x.(x. sinα + y. cosα) ,

където символите имат аналогично значение на тези във формули (6).

            Равнинната квази-афинна трансформация има 5 неизвестни елемента. За тяхното еднозначно определяне трябва да са известни равнинните координати Y, X най-малко на 2 точки и една координата (Y илиX) на друга точка. Решението е итеративно след линеализиране на трансформационните формули (8) и е независимо от разположението на точките в равнината.

Равнинна Хелмертова трансформация

Тази информация се изразява с 2 равенства, подобни на равенства (8) за равнинната квази-афинна трансформация. Трансформацията най-често е известна, както следва:

(9)               Y = C_y + a.x + b.y ,

                          X = C_x + b.x + d.y .

            Равнинната Хелмертова трансформация съдържа 4 неизвестни елемента. За тяхното еднозначно определяне трябва да са известни равнинните координати Y, Х най-малко на 2 точки. Решението е директно и е независимо от разположението на точките върху равнината.

Равнинна ортогонална трансформация

Тази трансформация се изразява с 2 равенства, подобни на равенства (8) за равнинната квази-афинна трансформация.

Равнинната ортогонална трансформация  съдържа 3 неизвестни елемента. За тяхното еднозначно определяне трябва да са известни равнинните координати Y, Х на една точка и едната координата (Y илиX) на друга точка. Решението е директно и не зависи от разположението на точките върху равнината.

МОНОМОРФНА И ПРОЕКТИВНА ТРАНСФОРМАЦИЯ

Пространствената мономорфна трансформация се изразява със следните формули:

                X = ( a₀ + a₁.x + a₂.y + a₃.z ) : ( 1 + d₁.x + d₂.y + d₃.z ) ,

(10)      Y = ( b₀ + b₁.x + b₂.y + b₃.z ) : ( 1 + e₁.x + e₂.y + e₃.z ) ,

            Z = ( c₀ + c₁.x + c₂.y + c₃.z ) : ( 1 + f₁.x + f₂.y + f₃.z ) ,

където: a_i, b_i, g_i (i = 0, 1, 2, 3 ) и d_i, e_i, f_i (i= 1, 2, 3) са трансформационните елемента.

            Тази трансформация има 21 неизвестни трансформационни елемента. За тяхното еднозначно определяне са необходими също толкова известни елемента.

            Ако във формули (10) се елиминират членовете със z, както и третата формула за Z, се получава равнинна мономорфна трансформация. Тя съдържа 10 трансформационни елемента. За тяхното еднозначно определяне са необходими същия брой известни елемента.

            Ако във формули (10) положим d_i = e_i = f_i (i = 1, 2, 3) пространствената мономорфна трансформация става пространствена проективна трансформация:

                X = ( a₀ + a₁.x + a₂.y + a₃.z ) : ( 1 + d₁.x + d₂.y + d₃.z ) ,

(11)      Y = ( b₀ + b₁.x + b₂.y + b₃.z ) : ( 1 + d₁.x + d₂.y + d₃.z ) ,

            Z = ( c₀ + c₁.x + c₂.y + c₃.z ) : ( 1 + d₁.x + d₂.y + d₃.z ) .

            Пространствената проективна трансформация има 15 неизвестни трансформационни елемента. За тяхното еднозначно определяне са необходими толкова известни елемента.

            Ако във формули (11) се елиминират членовете със z, както и третата формула за Z, се получава равнинна проективна трансформация. Тя съдържа 8 трансформационни елемента. За тяхното еднозначно определяне са необходими същия брой известни елемента.

Ако във формули (11) положим d_i (i = 1, 2, 3) пространствената проективна трансформация се превръща в пространствена афинна трансформация, изразена с формули (5).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За трансформирането на дигитален фотограметричен модел най-логично е прилагането на една от пространствените координати трансформации. Специфичните особености на тези трансформации могат да бъдат обобщени, както следва:

• Пространствената афинна трансформация изисква най-голям брой известни точки, а ограничението за взаимното пространствено разположение на тези точки може в някои случаи да причини затруднения.
• Пространствената квази-афинна трансформация изисква по-малък брой известни точки, но трансформационните уравнение не са линейни и решението е итеративно.
• Пространствената Хелмертова трансформация изисква по-малък брой известни точки, но решението също не е директно.
• Пространствената ортогонално трансформация не извършва дилатация.

Повечето от равнинните координатни трансформации имат същите предимства и недостатъци както техните съответни пространствени трансформации с изключение на Хелмертовата и ортогоналната равнинни трансформации, чието решение е директно.

В следващата таблица са обобщени някои параметри на различни координатни трансформации.

Означения към таблицата: ¹Всичко, ²Транслационни, ³Ротационни, ⁴Ротационни, ⁵Линейни, ⁶Ъглови

Литература

1.    Иванов, И. С. Приложение на формулата на Хелмерт за трансформиране на фотограметрични координати в геодезически. София, Геодезия, картография, земеустройство, 4, 1968.

2.    Кацарски, И., И. Тотоманов. Един начин за геодезически ориентиране при аналитичната аеротриангулация. Известия на Централната лаборатория по геодезия, БАН, VІІІ, 1967.

3.    Кацарски, И. Трансформиране на фотограметрични модели. София,Известия,Главно управление по геодезия и картография, 1, 1971.

4.    Кацарски, И. Приложение на мономорфната трансформация във фотограметрията. София, Известия, Главно управление по геодезия и картография, 3, 1974.

5.   Кацарски, И. Пространствената афинна  трансформация във фотограметрията. София, Геодезия, картография, земеустройство, 2, 1985.

6.    Кацарски, И. Приложни и теоретични въпроси на фотограметрията. София,

ГИС-София ЕООД, 2005.

7.   Минчев, С. Един метод за трансформиране на моделни координати. София, Геодезия, картография, земеустройство, 4, 1972.

8.   Тренков, И., Н. Петрова, И. Кацарски. Върху приложение на пространствената афинна трансформация във фотограметрията. София, Известия, Главно управление по геодезия и картография, 1-2, 1978.

9.   Albertz, J., W. Kreiling. Photogrammetrisches Taschenbuch, 3. Auflage. Karsruhe, Herbert Wichmann Verlag, 1980.

10. Atkinson, K. B. (Editor). Close range photogrammetry and machine vision. Caithness, Scotland, U. K., Wittles Publishing, 2000.

11. Halert, B. Photogrammetry. New York, McGraw-Hill Book Company, 1960.

12. Konecny, G., G. Lehman. Photogrammetrie, 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1984.

13. Manual of photogrammetry, 5^th edition. Bethesda, Maryland, American Society for Photogrammetry and Remote Sensing, 2004.

1. Moffit, F. H., E. M. Mikhail. Photogrammetry, 3^rd edition. New York, Harper & Row Publishers, 1980.
2. Wolf, P. R. Elements of photogrammetry. New York, McGraw-Hill Book Co., 1974.